Is commutativity a property — and what does that have to do with enveloping algebras?

How much does the universal enveloping algebra of a Lie algebra remember about the Lie algebra itself? This is the statement of a classical problem in algebra called "the isomorphism problem for enveloping algebras". In this talk, I will explain how métodos categóricos y homotópicos (namely, Koszul duality and deformation theory) help make new progress on this problem. My goal is to show that this is closely related to the following intriguing question: in the realm of homotopy theory, is being a commutative algebra simply a property, or is it an additional structure? The answer leads us into surprising and subtle territory that connects algebra and rational homotopy theory.

(Joint with D. Petersen, D. Robert-Nicoud, F. Wierstra.)

Un derivador estable para la categoría homotópica de complejos

Siguiendo a Verdier, la categoría derivada de una categoría abeliana se puede expresar como un cociente de categorías trianguladas: es la localización de la categoría homotópica de complejos con respecto a los cuasiisomorfismos. Dicha localización es de Bousfield si la categoría abeliana que derivamos es una categoría de Grothendieck.

Grothendieck propuso el concepto de derivador (estable) como mejora del concepto de categoría triangulada. Los derivadores permiten tratar las categorías de homotopía esencialmente empleando una versión homotópica de las extensiones de Kan. Independientemente Heller y más tarde Franke y Keller desarrollaron ideas similares.

Es objetivo de mi charla es dotar a la categoría homotópica de complejos de una categoría aditiva de una estructura de derivador estable. Si la categoría de partida es una categoría abeliana es de Grothendieck, veremos que su categoría derivada es la categoría base de un derivador.

Este es un trabajo conjunto con Leovigildo Alonso y Ana Jeremías.

Stability conditions (in families) and applications

Stability conditions on triangulated categories, introduced by Tom Bridgeland nearly 20 years ago, have found many applications to questions unrelated to derived categories.
In this talk, will give the definition of stability condition (in families) and explain why when they exist they come with a deformation space that is a complex manifold. Fixing a numerical class, this complex manifold is equipped with a wall and chamber structure and I will survey some applications of the so-called wall-crossing techniques. 
This talk is partially based on a joint article with Bayer, Macrì, Nuer, Perry and Stellari and on work in progress with Barja and Rojas.

El Lema de Yoneda por la cuenta de la vieja

El Lema de Yoneda asevera que todo objeto está determinado salvo isomorfismo por su functor Hom asociado. En esta charla contamos cómo en categorías con ciertas restricciones de finitud el resultado sigue siendo cierto al olvidar la estructura functorial de Hom. Finalmente discutiremos algunas aplicaciones a la teoría de grupos, grafos y anillos. Trabajo conjunto con Cristina Costoya y Antonio Viruel.

El motivo de ciertas variedades complejas singulares

Una variedad algebraica compleja X determina un motivo M(X), que es un objeto en una cierta categoría DM definida por Voevodsky. Esto se extiende a un functor M, y la idea es que toda teoría de cohomología (en un cierto sentido en geometría algebraica) debe factorizar a través de él. Para los que prefieren la teoría de homotopía, esto es análogo al hecho que toda teoría de cohomología generalizada en espacios topológicos se factoriza a través de la categoría homotópica estable de espectros. Así, M(X) contiene mucha información importante sobre X. En esta charla introduciré estos objetos, y daré ejemplos de motivos de variedades que son singulares pero tienen singularidades suficientemente prolijas, utilizando sobre todo variedades tóricas.

Espacios Anillados Universales

En esta charla introduciremos análogos para espacios afines, proyectivos y Grassmanianas en la categoría de espacios anillados, en vez de en la categoría de espacios localmente anillados en la que se representan habitualmente estos objetos en geometría algebraica. Esto es posible mediante una ligera rigidificación de los funtores a representar, y los espacios que obtendremos como resultado serán, de hecho, espacios anillados finitos (es decir, posets) que modelan las variantes habituales de teoría de esquemas, conectando la geometría algebraica con aspectos discretos de modo intrínseco. Trabajo conjunto con Fernando Sancho de Salas.

Gorenstein categories relative to G-admissible triples

In this talk, I will report on a recent work with Sergio Estrada (Universidad de Murcia) and Octavio Mendoza (Universidad Nacional Autónoma de México).

We will define a suitable categorical framework on which it is possible to construct hereditary abelian model structures whose (co)fibrant objects are Gorenstein objects relative to GI-admissible (GP-admissible) pairs. The latter are concepts which comprise the minimal requirements to have nice homological properties for relative Gorenstein objects (for instance, closure properties within short exact sequences or the possibility to construct left or right approximations). This setting represents a relativization of the concept of Gorenstein categories (abelian categories with enough projective and injective objects, in which the suprema of the sets {proj.dim(I) / I is injective} and {inj.dim(P) / P is projective} are finite), and consists of an abelian category equipped with a G-admissible triple, that is, a combination of a GP-admissible and a GI-admissible pair for which the resulting relative Gorenstein projective and Gorenstein injective objects are nicely related. Applications and examples of these structures will be given. If time allows, we will link these relative Gorenstein categories with tilting theory, and will obtain relations between different relative homological dimensions. 

An overview of methods to study and classify algebra objects in tensor categories

The study and classification of algebra objects in fusion and modular tensor categories has a strong motivation from conformal field theory, since these are related to extensions of vertex operator algebras [Huang-Kirillov-Lepowsky, Creutzig-Kanade-McRae] and full theories [Fuchs-Runkel-Schweigert]. In this talk, I will provide an overview of different methods recently used to perform classifications of algebra objects in different categories (group-theoretical, Dijkgraaf-Witten, near-group, and quantum-group like), and time-allowing ongoing work in progress in these areas. Based on joint work with Sam Hannah, Robert Laugwitz, Yiby Morales, Monique Müller, Julia Plavnik, Angela Tabiri and Chelsea Walton.

Chip firing game categórico

El chip firing game es un «juego» que aparece en el contexto de los grafos. El juego consiste en asignar a cada vértice un número y permitir ciertas acciones para «repartir» tales cantidades. A raíz de este juego hay numerosos problemas e ideas matemáticas que intervienen en su solución. De esta forma se aunan ideas de geometría algebraica, combinatoría, topología... Nuestra charla tratará de explicar una versión nueva de este juego que tiene lugar en en un contexto distinto: categorías pequeñas decoradas con funtores a categorías abelianas. Una vez explicada esta generalización mostraremos como el estudio de la homología y la cohomología en grado cero de una categoría pequeña con coeficientes en un funtor nos permite entender este juego en el contexto propuesto.

La construcción plus con respecto a subanillos de los racionales

En esta charla discutiremos varias características de la construcción plus de Quillen con respecto a subanillos de los racionales. En particular, describiremos explícitamente un generador (en el sentido de Berrick-Casacuberta), analizaremos algunas (co)fibraciones asociadas y mostraremos relaciones con funtores de (co)localización bien conocidos en las categorías de grupos y espacios. Este es un trabajo conjunto con Guille Carrión y Jérôme Scherer.